求导计算器 — 分步骤
输入任意 x 的函数，计算器将分步骤展示每条应用的法则并返回导数结果。涵盖多项式、三角函数、指数、对数，以及通过积法则、商法则、链式法则的组合。适合微积分学习者。
支持的法则
幂法则 — \(d/dx[x^{n}] = n\cdot x^{n-1}\) 求解 → x³
和法则 — \(d/dx[f+g] = f' + g'\) 求解 → 3x²+5x−7
常数倍法则 — \(d/dx[c\cdot f] = c\cdot f'\)
积法则 — \((f\cdot g)' = f'g + fg'\) 求解 → x·sin(x)
商法则 — \((f/g)' = (f'g - fg')/g^{2}\)
链式法则 — \(d/dx[f(g(x))] = f'(g)\cdot g'\) 求解 → sin(2x+1)
常用导数 — sin, cos, tan, e^x, ln(x), √x
试试这些例题
\(d/dx[x^{4}]\) — 纯幂法则
\(d/dx[eˣ]\) — 自身即其导数的指数函数
\(d/dx[\ln(x)]\) — 著名的 1/x
\(d/dx[(x^{2}+1)^{3}]\) — 多项式内的链式法则
\(d/dx[x/\ln(x)]\) — 含对数的商
学习理论
阅读完整指南： 求导基本法则. 或前往 积分计算器.
导数应用题：极值与切线
求极值：令 \(f'(x)=0\) 得驻点，再用二阶导数判断：\(f''(x)>0\) 为极小值，\(f''(x)<0\) 为极大值。切线方程：过点 \((a, f(a))\) 的切线斜率为 \(f'(a)\)，代入点斜式 \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)。注意区分"极值"（局部最优）与"最值"（整体最优，需比较端点）。
验证极值的步骤
驻点 \(f'(a)=0\) 不一定是极值；用二阶导数或一阶导数符号变化判断：若 \(f''(a)>0\) 则极小值，\(f''(a)<0\) 则极大值，\(f''(a)=0\) 需进一步分析。
导数描述函数在某一点附近变化得多快
导数不是一串符号规则，而是局部斜率。它告诉我们当 \(x\) 轻微变化时，函数值 \(y\) 以什么速度变化。
\[
f(x)=x^2\quad\Rightarrow\quad f'(x)=2x
\]
在 \(x=3\) 处，斜率是 6，意思是图像在那一点附近上升得比较快。实际题目中，导数可以表示速度、边际成本、增长率或切线斜率。
检查。 看结果的符号是否符合图像趋势。函数上升时导数应为正，下降时导数应为负。
先看外层结构，再决定求导法则
求导最常见的错误不是公式不会背，而是没有看清函数的外层结构。\(x^2\sin x\) 的外层是乘积，所以先用乘积法则；\(\sin(2x+1)\) 的外层是正弦，里面又套了 \(2x+1\)，所以用链式法则并乘以内层导数 2。
\[
\frac{d}{dx}\bigl[x^2\sin x\bigr]=2x\sin x+x^2\cos x,
\qquad
\frac{d}{dx}\sin(2x+1)=2\cos(2x+1)
\]
把这两类结构分清后，再处理商法则、指数函数或对数函数就不会乱。想用更多题目练这个判断，可以打开 导数例题，把每题先标出“外层是什么”。
导数值可以用切线斜率来解释
若 \(f(x)=x^2\)，则 \(f'(x)=2x\)。在 \(x=3\) 处，切线斜率是 6，点是 \((3,9)\)，切线方程可写成 \(y-9=6(x-3)\)。这样读导数，结果就不只是一个符号表达式，而是函数在该点附近变化快慢的具体说明。继续做极值题时，可以再比较 积分计算器 中“累积量”的读法。
链式法则的关键是先看外层函数
\(\sqrt{3x+1}\) 的外层是平方根，内层是 \(3x+1\)。先把它写成 \((3x+1)^{1/2}\)，再对外层求导，最后乘以内层导数 \(3\)。
\[
\frac{d}{dx}\sqrt{3x+1}=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}
\]
如果先展开或把根号当成普通 \(x\)，很容易漏掉内层导数。求导结果可以解释为曲线在某一点的瞬时斜率，所以检查时可以配合 切线计算器 和 图像计算器。需要把导数与反向运算联系起来时，再看 积分计算器。